资料图片：我校数学科学学院学生在毕业晚会上的演出


　　高校的文科专业有必要开设数学课程，我校教务处很早就认识到这一点并且从1994年起在全校付诸实践。这在全国是比较领先的，近年来这种认识逐渐被多数高校接受。而"大学文科数学"的教学改革，其实还有很大的发展空间。这是因为对以下三个方面问题的认识，以及由认识导致的做法，都还有很大的发展空间。这三个方面分别是：关于"数学教育对于文科学生的作用"；关于"在教学中培养文科学生形象思维、逻辑思维、辩证思维的相辅相成"；关于"将数学文化融入文科数学教学"。
　　这三个方面的理念是相互联系的。本文打算以第二方面为主，以第一、三方面为辅，谈一些认识和做法。这些认识的深化，自然会导致高校"文科数学"教学内容、教学手段、教学方法、考试方式等方面改革的深化，所以也结合我们课程组的实践，介绍一些教改的具体例子，以与同行交流。
　　这里虽然讨论的是文科数学的教学改革，但是涉及"全面育人"的重大主题，因此其中的理念和做法，对于"数学"以外课程的教改，对于"文科"以外学生的培养，或许也有一定的借鉴意义。
　　一、对于三个方面问题的认识
　　1．数学教育对于文科学生的作用
　　关于"数学教育对一般非数学类专业大学生的作用"，许多学生和教师，过去往往认为主要是"工具"方面的作用---掌握数学知识，为本专业的学习服务。而教育部高等学校"数学与统计学教学指导委员会"的《数学学科专业发展战略研究报告》中，则对此总结了五个方面的作用，即"数学工具"、"理性思维"、"数学文化"、"审美情操"、"终身学习"。
　　我校"大学文科数学"课程组研究认为，对于文、史、哲、外语、政治、社会、法律等人文专业的学生，数学教育在"工具"方面的作用相对次要，在"理性思维"、"数学文化"等方面的作用更加重要。即使是数学"工具"的方面，不同的文科专业，需要的侧重点也不同。
　　而过去文科数学课程内容的设计，基本上是理工科数学的简化和压缩。理工科数学课程的内容，则更多的是从"通用工具"的角度去设计的。现在考虑到文科学生的特点，以及数学教育的特点，对于数学教学在文科人才培养中的作用，我们课程组形成了以下认识：
　　（1）对于文科学生，最基本的数学知识应该掌握，但大学数学课程不应仅仅以"掌握工具"为目的教会学生解题；更应着眼于让学生"了解数学文化，提高数学素养"。这将使学生终生受益。
　　（2）应尽量使文科学生的形象思维与逻辑思维达到相辅相成的效果，并且结合数学思想的教学适度训练他们的辩证思维。
　　（3）理性思维、数学素养、数学文化不应该空泛地讲授，而应以恰当的知识为载体；课程原有的大部分内容，仍然可以作为这样的知识载体，只是需要适当的改造；此外，还可以适当增加一些开阔视野的内容。
　　（4）数学文化与数学知识，不应是"两层皮"的分离关系，而应是"一体化"的融入关系。如果把数学知识比作"水"，数学文化比作"乳"，则应尽可能做到水乳交融。
　　2．在教学中培养学生形象思维、逻辑思维、辩证思维相辅相成
　　人文专业的学生毕业后走上工作岗位，除了继续自己的专业研究外，还面临大量的处理公务、制定计划、研究方案、组织实施的任务。从而就有许多写稿、讲话、谈判、交流、运筹的机会，需要思维的清晰性、条理性和全面性、辩证性，也需要较强的语言文字能力。而语言也是被思维支配的，因此，在教学中培养文科学生的思维能力是重要的。现在人文科学与社会科学、自然科学有多方面的交叉，文科学生在工作中不可避免地会接触各种科学分支，需要多种思维方式的结合，所以，"在教学中培养文科学生形象思维、逻辑思维、辩证思维的相辅相成"是重要的。再者，知识爆炸的时代，获取信息渠道的多样化，人才全面成长的需求，探索创新精神的培养，都对学生的自学能力、思维能力提出了较高的要求，也给教师培养学生"多种思维的相辅相成"提出了较高的要求。
　　而数学教学在培养学生的思维能力及多种思维的相辅相成方面，恰有其独特的优势。几何图形、函数图像与形象思维密切相关；数学推理、计算和证明与逻辑思维密切相关；抽象概念的形成、新的数学分支的创建和新的数学结论的发现与辩证思维密切相关；整个数学学科的形成和发展都是形象思维、逻辑思维、辩证思维相辅相成的过程和结果。
　　在数学活动中，全面地而不是片面地看问题，运动地而不是静止地看问题，发展地而不是停滞地看问题，从多个角度而不是从单一角度看问题，联系地而不是割裂地看问题，都充满着辩证法和辩证思维。
　　数学中随处可见近似与精确的矛盾，有限与无限的矛盾，量变与质变的矛盾，变与不变的矛盾，肯定与否定的矛盾，偶然与必然的矛盾，具体与一般的矛盾，感性与理性的矛盾，它们都是对学生进行多种思维教育特别是辩证思维教育的适当材料。教师应该在教学中主动揭示这些矛盾，并且善于讲解矛盾转化的条件和途径。
　　文科学生比较擅长形象思维，但是逻辑思维及辩证思维相对较弱。我们的教育，应该是"全人"的素质教育，无论对于理科学生还是文科学生，都应该是科学教育与人文教育双翼齐飞的全面教育。钱学森先生说过："从思维科学角度看，科学工作总是从一个猜想开始，然后才是科学论证，换言之，科学工作源于形象思维，终于逻辑思维。"所以笔者认为，在各个专业、各门课程的教学中培养学生形象思维、逻辑思维、辩证思维的相辅相成，是教师义不容辞的责任。
　　还应该看到，教师如果善于发扬文科学生擅长形象思维的优点，在教学中把它与逻辑思维及辩证思维的培养结合起来，必将十分有利于数学教学。
　　3．将数学文化融入文科数学教学
　　数学，向学生展示的不仅是一门知识体系，一种科学语言，一些技术工具，还是一种思想方法、认识模式，一种理性思维，一种美学精神，一种文化境界。因此，将数学文化融入数学教学，具有重要的教育意义。
　　文科学生不同于理工科学生的特点，使得数学文化对文科学生更加重要。事实上，文科学生参加工作以后，具体的数学定理和公式可能较少使用，而更能够让他们受益的，往往是在学习这些数学知识过程中培养的数学素养。这些数学素养包括：从数学角度看问题的出发点，把实际问题简化和量化的习惯，有条理的理性思维，逻辑推理的意识和能力，周到地运筹帷幄，等等。所以，在数学教学中有意识地强调数学知识中蕴涵的数学思想、精神，把数学文化融入数学教学，主动地在提高学生的数学素养上下工夫，是完全必要的。
　　二、南开大学"文科数学"课程的教学实践举例
　　1．文科数学教学中多媒体辅助教学手段的恰当运用
　　在借助多媒体辅助教学手段方面，过去很长一段时间里我们的认识曾经是：对于讲究抽象思维的数学课程，应该慎重采用多媒体手段辅助教学。但是近几年我们对此进行了再讨论和再认识，认为"大学文科数学"课程不同于一般的理工科数学课程，它培养抽象思维的任务相对较轻，而培养形象思维与抽象思维相融合的任务相对较重，可以较多地采用多媒体辅助教学。下面是我们采用多媒体辅助教学的一个例子。
　　例：关于"函数发f(x)在x→a时的极限"不依赖于x=a点处的函数值；"函数f(x)在x=a点处的连续性"却依赖于x=a点处的函数值。
　　"极限"概念体现了"运动地而不是静止地看问题"，其中又有严密的逻辑推理，配以多媒体的讲解，可以使学生体验直观与抽象的联系，在观察中感知，在感知中加深理解，这对于培养学生形象思维、逻辑思维、辩证思维的相辅相成非常有利。
　　我们在同一屏上展示下面三幅动画：第一幅是函数f(x)在x→a时的极限等于该点处的函数值，第二幅除了函数在x=a点处无定义外与第一幅一样，第三幅除了函数在x=a点处的函数值比原来大1之外与第一幅一样。这样，三幅图表达的函数，在x→a时的极限都存在，并且极限值也相同；但是三幅图表达的函数是不同的，因为它们在x=a点处的函数值不同。这表明"函数f(x)在x→a时的极限"是不依赖于x=a点处的函数值的。
　　而第一幅图的函数在x=a点处连续，第二幅、第三幅图的函数在x=a点处不连续，这表明"函数在x=a点处的连续性"却是依赖于x=a点处的函数值的。
　　这些区别，本来是学生容易混淆和出错的地方，现在用形象、生动的动画配合讲授，学生就比较容易理解和记住。
　　2．"文科数学"教学如何处理推理和证明
　　在课时较紧的情况下，在"文科学生会算题就不错了"的想法下，不少高校的文科数学教学采取了重结论不重背景，重知识不重思想，重计算不重推理的方式；许多教师也满足于教会学生辨别"类型题"，照猫画虎地解答"类型题"，考试也几乎全是计算题。但是这种做法，教给学生形式的东西居多，本质的东西较少；学生学到的是照葫芦画瓢的"术"，而不是数学思想。学生由此可以应付考试，却难以提高数学素养。
　　我们觉得，在文科数学教学中虽然不必像理工科数学那样全面地讲授定理证明，但是为了培养学生形象思维、逻辑思维、辩证思维的相辅相成，也应该挑选少量有代表性的、体现数学素养的、并且证明过程并不繁琐的命题，讲授其推理过程。下面是我们在教学中有详有略地讲解推理和证明的三个例子。
　　（1）关于矩阵的秩、"不变量"的概念及概念的"一义性"。我们在文科数学的教学中，出于较为形象和直观的考虑，把"矩阵的秩"这一抽象的概念定义为"矩阵通过初等变换化为阶梯形后非0行的行数"。我们由此把以下两方面的推理和数学思想教给学生。
　　一是同一个矩阵用不同的初等变换可能化为不同的阶梯形，但不同的阶梯形中非0行的行数却是相同的。教师利用多媒体很容易展示同一个矩阵用不同的初等变换化成的几个不同的阶梯形，然后让学生观察会发现，它们非0行的行数果然是相同的。这种在事物变化当中不变的性质，具有相对的稳定性，反映了事物的本质，我们称之为"矩阵的秩"，它是矩阵在初等变换下的"不变量"。在研究客观世界时，注意发现"不变量"是非常重要的，它能够帮助我们找到事物的本质。
　　二是只有当说明了"同一个矩阵用不同的初等变换化为不同的阶梯形时非0行的行数全都相同"，才能赋予这样的"行数"一个概念--"矩阵的秩"，并且给予一个记号。这就是概念的"一义性"，它源于逻辑的"同一律"。这一段落的教学，体现了"变与不变"的对立统一。
　　（2）关于"逆矩阵"的定义及条件的等价性。"逆矩阵"的定义是："设A是n阶方阵，若存在n阶方阵B使得AB=BA=I，则称A是可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵"。这里"AB=I"与"BA=I"表面上是两个条件，但是从其中一个能够推出另一个来；所以满足其中一个条件就与满足两个条件是"等价的"，并且满足其中一个条件与满足另一个条件也是"等价的"。结合这些推理，让文科学生认真理解和体会这里的逻辑关系，搞清楚"充分必要条件"的意义，对于他们今后说话、办事、写文章，都是有益的。
　　（3）关于"微积分基本定理"中深刻的数学思想。
　　该定理十分重要，在教学中可以通过对其物理意义、几何意义的剖析给出一个反映其精神实质的简洁证明，进而浓墨重彩地讲授其中的思想。
表达该定理的公式是：∫f(x)dx=F(b)-F(a)。
等式两端表面上是完全不同的两种概念、两类事物，但两者却可以用等号联结起来，把反映函数整体性质的积分与反映函数局部性质的微分联系起来，鲜明地揭示了它们之间的密切关系，并且使计算"化难为易"了。
　　这里体现的思想，特别是"不同事物之间联系"的思想，是十分深刻的，有丰富的数学文化，而且是完全蕴含在数学知识当中的。在这里多花些时间，多用些语言，让学生体会其中的思想、精神，是非常值得的。
　　在这一段落的最后，我们还常常画龙点睛地说："有些表面上看来毫无联系的事物，其实是有深刻的内在联系的。在别人没有发现联系的地方，你揭示出联系，那就是创新！"这样充满辩证法的点睛之语，可能会在学生头脑中留下深刻的印象，以至影响他们的价值观，甚至影响他们的一生。
　　3．"文科数学"中启发式教学方法的运用
　　启发式教学不但重视教学的结果，更加重视教学的过程。针对文科学生比较擅长形象思维、不大擅长逻辑思维的特点，教师如果恰当地用形象的比喻扬长补短，往往会在培养学生形象思维、逻辑思维、辩证思维的相辅相成方面收到很好的效果。下面是我们教学实践中的三个例子。
　　（1）关于数学上的"存在性"。数学中，"存在性"是十分重要的，但许多学生并不理解这一点，从而在实践上常犯错误。例如有人在求"两个函数乘积的极限"时，不假思索地写成等于"两个函数极限的乘积"。但是如果其中一个函数极限不存在的话，就会出错。
　　我们就用浅显的比喻，作"形象"的讲解："哪位同学如果能给我一个最大的正整数，这学期的数学课成绩就给他100分。"学生乍一听，觉得"找一个最大的正整数"很容易办到，但是尝试之后发现办不到。这时候教师再说明"最大的正整数"是不存在的，同时讲解"存在性"的重要，学生就比较容易接受。
　　（2）关于复合函数的计算及复合函数的求导。如何识别复合函数的层次，并按照"链锁法则"进行复合函数的求导，是教学中的一个重点，也是一个难点。我们先对照复合函数的求值过程来讲解复合函数的求导过程：复合函数的求值是按照从里层函数到外层函数的顺序计算；复合函数的求导是按照从外层函数到里层函数的顺序计算。然后我们再用"穿""脱"衣服的比喻，作"形象"的讲解：复合函数的求值好比是"穿衣服"，应该先穿背心，再穿衬衫，再穿毛衣，最后穿外衣，从里到外；复合函数的求导好比是"脱衣服"，应该先脱外衣，再脱毛衣，再脱衬衫，最后脱背心，从外到里。
　　作了这种形象的说明，再结合具体例题，识别复合函数的层次，训练用"链锁法则"进行复合函数的求导，把形象思维与逻辑思维结合起来，效果就比较好。
　　（3）关于极值的必要条件。在"导数的应用"中，"极值的必要条件和充分条件"是一个重点。我们在介绍"极值"的定义后，启发学生结合"导数的几何意义是函数曲线在该点切线的斜率"，观察几个函数图像极值点附近切线的情况，然后自己猜测"极值点的必要条件"。当学生借助形象思维得到的"必要条件"是"该点切线为水平线"的结论后，再用函数曲线的切线"随点的变化而变化"的动画演示，检验该结论，进而启发学生把这一形象的结论转述成"函数在该点导数为0"的数学表述。然后再用逻辑推理证明该结论。这样的教学，形象思维与逻辑思维相辅相成，猜想推断与严格证明相辅相成。
　　4．考试和评价的改革
　　教学改革只有与考试评价改革相配合，才能够真正被教师和学生接受，才能够落实和持久。为配合培养学生形象思维、逻辑思维、辩证思维相辅相成的教学改革，我们近年来实施了三个方面的考试评价改革。
　　（1）在"平时成绩"中增加"撰写读书报告"的要求。"读书报告"的内容，学期初就给出若干参考选题；"读书报告"的字数，要求不少于1500字；对"读书报告"的评价，包括内容、思想和写作水平；"读书报告"在总评成绩中占10%。优秀的"读书报告"还推荐到我们自己创办的校内刊物《数学之美》上发表。
　　这一措施把课内教学与课外活动联系起来，培养学生查找资料和阅读写作的能力，在写作实践中也培养了学生的自学能力和思维能力。
　　（2）实行"半开卷"的期末考试。"半开卷"的含义是：允许学生带进考场一张带有复习内容的纸（A4大小），以避免死记硬背，提倡学懂学会。学生准备这张纸的过程，就是很好的复习过程；也是思维能力、总结能力的训练过程。
　　（3）期末试题中适当增加对推理能力的考查。我们的期末考试，有意识地安排了约25%关于概念和推理的题目，考查学生形象思维、逻辑思维、辩证思维的能力，难度适中。
　　"概念题"例如有：叙述"原函数"与"不定积分"的联系与区别；谈谈你对"微积分基本定理"的理解；尽可能多地列举"线性方程组"与"矩阵"之间的关系。
　　"推理题"例如有：设f(x)有一个原函数sinx/x，求∫xf′(x)dx；设函数f(x)满足f+′(1)=-2，f-′(1)=0，试问f(x)在x=1点处是否连续？并说明理由。
　　学生知道考试中会有推理方面的题目，平时自然也加强了相关的训练，就不是仅仅满足于照猫画虎地做计算题了。这对于他们理解数学的思想实质，培养思维能力，提高数学素养很有好处。
　　"大学文科数学"课程的这些教学改革实施以来，学生感到学习数学对于提高思维品质有用，兴趣大大增加。兴趣是最好的老师，结果，他们不但学到了数学知识，而且学到了数学思想，因此总体教学效果有了明显的提高。这样，即使将来忘记了某些具体的数学定理和公式，数学素养仍然会让他们终生受益。
　　2005年，南开大学的教学成果"文科数学教学改革的研究与实践"曾获国家级教学成果二等奖。本文是我们此后的一些工作和成果。